Утім, для дослідників природи мати справу з нематеріальними категоріями – не в новину. Математика настільки стала невід’ємною частиною природознавства, аж багато хто сьогодні вже й не замислюється, що, загалом, до природничих наук вона не належить. Науки про природу (що в давнину були об’єднані в поняття «фізика») описують світ, який ми пізнаємо через органи чуттів (зір, слух, смак, дотик, нюх). Натомість царина математики – абстрактні умоглядні концепції, які існують лише в нашій свідомості.
Уже саму можливість існування математики Іммануїл Кант (1724-1804) вважав складовою основного питання філософії, разом з існуванням фізики та метафізики. Наскільки ми маємо підстави приписувати власним умоглядним конструкціям якісь зв’язки з реальністю? Наскільки обґрунтованою є думка, що вся довколишня реальність якось пов’язана з абстрактними ідеями нашої свідомості? Як виключно раціональні принципи математики виявилися відображеними у світобудові?
Учені, які заклали підвалини науки, проблеми в цьому не вбачали. Для них усе було очевидно: Бог – Творець усього сущого. Він розумний, і тому Його закони раціональні. Й те, що природні явища пов’язані між собою чіткими та витонченими математичними співвідношеннями, сприймалось як чергове свідчення розумного задуму в Його творінні.
У цьому контексті вельми показовими були дебати на тему «Чи існує Бог?», влаштовані у XVIII столітті при дворі Катерини II між великим швейцарським математиком Леонардом Ейлером (1707-1783) та французьким філософом-гуманістом Дені Дідро (1713-1784), який поширював свої атеїстичні переконання. Першим випало виступати Ейлеру. Той вийшов до дошки і мовчки написав:
еі ω +1=0
Потім учений виголосив: «Відповідно, Бог є», і сів на місце. На цьому диспут завершився, заперечень не пролунало.
Щоби зрозуміти суть цього аргументу, доведеться згадати дещо зі шкільного курсу математики:
- Число е (яке ще називають числом Ейлера) – це основа натурального логарифма. Воно ірраціональне, тобто не може бути представлене простим відношенням двох натуральних чисел. До того ж, воно ще й трансцендентне (цей термін означає щось «не з цього світу» – метафізичне, недоступне пізнанню шляхом чуттєвого досвіду). Трансцендентне число в принципі не може бути представлене жодним алгебраїчним співвідношенням раціональних чисел.
- Число ω дорівнює відношенню довжини кола до його діаметра. Воно теж ірраціональне (і, як було пізніше доведено, теж трансцендентне).
- Число і, або уявна одиниця, – це уявне число, квадрат якого дорівнює мінус одиниці.
Отже, у наведеній формулі два трансцендентних і одне уявне число виявляються пов’язаними одне з одним простим і вишуканим співвідношенням. Людському розумові створити таке явно не під силу! Ейлер тільки відкрив це співвідношення, але уклав його явно Хтось, чий інтелект набагато перевищує людські здібності.
У XX столітті математика принесла ще більші несподіванки атеїстам. Завжди визнавалося, що природничі науки, з огляду на їхню індуктивну природу (міркування від часткового до загального), не можуть досягти повного знання про дійсність. Кажучи словами апостола, «…ми знаємо частинно» (1 Послання до коринтян 13:9). Але водночас вважалося, що математичні знання вільні від таких обмежень, оскільки ґрунтовані на дедуктивних міркуваннях (від загального – до часткового). Мрією математиків було створити так звану метаматематику – єдину систему формул, які описують усе суще.
Ця ідея зазнала краху 1931 року, коли австрійський математик Курт Гедель (1906-1978) довів теорему, згідно з якою для кожної формальної математичної системи існує вираз, який до цієї системи не належить. Тобто наше знання ніколи не буде повним: завжди залишатиметься щось поза його межами. Раціональний опис дійсності – обмежений.
Через кілька років польський математик Альфред Тарський (1901-1983) довів, що саме поняття істинності логічно виразити неможливо. Виходячи з цього, було показано, що всі математичні вирази можуть бути розбиті на нескінченну кількість класів складності. Причому множина формул, які можна вивести, повністю міститься в найнижчому, нульовому класі, а множина істинних формул перевищує всі ці класи. Отже, наше знання – тільки бліда тінь Божого задуму, про що, власне, і сказано в Писанні: «Бо ваші думки – не Мої це думки, а дороги Мої – то не ваші дороги, говорить Господь. Бо наскільки небо вище за землю, настільки вищі дороги Мої за ваші дороги, а думки Мої – за ваші думки» (Книга пророка Ісаї 55:89).
Апофеозом стало доведення наприкінці 1970-х років теореми Паріса-Гаррінґтона, з якої випливає, що навіть найелементарніші математичні істини неможливо встановити, не вдаючись до поняття актуальної (тобто абсолютної) безконечності. Що це означає?
У реальному світі ми маємо справу тільки з потенційними нескінченностями – послідовностями елементів, які можна безконечно нарощувати, додаючи нові, але в кожну конкретну мить часу число елементів послідовності все одно залишатиметься скінченним. Актуальна нескінченність – це безконечність, яка існує одразу всіма своїми елементами одночасно. Її неможливо змоделювати. Це – лише умоглядне, трансцендентне поняття («не від світу цього»).
Так ось, виявляється, що жодне «природне» (тобто припустиме в реальному світі) математичне поняття або співвідношення неможливо сформулювати, не вдаючись до уявлення про надприродне. Використовуючи свій власний обмежений розум, ми можемо описувати нашу обмежену світобудову через математичні формули лише тому, що вони засновані на трансцендентних уявленнях безмежного Розуму, який безмежно перевищує все, доступне нашому розумінню!
Як сказав один із основоположників квантової механіки та квантової теорії поля, Нобелівський лауреат Поль Дірак (1902-1984), «найфундаментальнішою властивістю природи здається те, що основні фізичні закони описуються математичними теоріями найвищої краси й сили, які вимагають математичних знань найвищого рівня. Бог – великий математик, і в створенні Всесвіту Він використав математику найвищого рівня. Наші математичні потуги дозволяють нам зрозуміти лише часточку світобудови».